Question

8．操作：如图①，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角：
（1）角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
（2）若角的两边分别交AB、CA的延长线于M、N两点，连接MN．在图②中画出图形，再直接写出线段BM、MN、NC之间的关系．

Answer 1

分析 （1）延长NC到E，使CE=BM，连接DE，先证△CDE≌△BDM，再证△DMN≌△DEN；
（2）在CA上截取CE=BM，连接DE，先证△MBD≌△ECD，再证△NMD≌△NED；

解答 解：（1）MN=BM+CN．
如图1，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，

∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，
∴∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，
在△CDE和△BDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{∠MBD=∠ECD}\\{CE=BM}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDM（SAS），
∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，
∴∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，
在△DMN和△DEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DE}\\{∠MDN=∠EDN}\\{DN=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=NE=CE+CN=BM+CN．
（2）MN=CN-BM．
如图2，在CA上截取CE=BM，连接DE，

在△MBD和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{MB=EC}\\{∠MBD=∠ECD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴DM=DE，∠MDB=∠EDC，
∵∠MDN=∠MDB+∠BDN=∠CDE+∠BDN=60°，
∴∠EDN=60°=∠MDN，
在△NMD和△NED中，
$\left\{\begin{array}{l}{MD=ED}\\{∠MDN=∠EDN}\\{ND=ND}\end{array}\right.$，
∴△NMD≌△NED（SAS），
∴NE=MN，
∴MN=CN-CE=CN-BM．

点评 本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，难度适中．对于线段和差等式的证明，截长补短是关键．