Question

7．如图，⊙O的半径为1，点A、B、C、D在⊙O上，且四边形ABCD是矩形，点P是劣弧AD上一动点，PB、PC分别与AD相交于点E、点F．当PA=AB且AE=EF=FD时，AE的长度为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 作辅助线，构建矩形的对角线，根据等边对等角得∠ABP=∠APB，由同弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠ACP，根据矩形的四个角都是直角得∠ABC=90°，AE=EF=FD得FC=2FD，∠DCF=30°，得出∠ACB=30°，求出BC的长，则是AD的长，再三等分即可．

解答 解：连接AC、BD，
∵PA=AB，
∴∠ABP=∠APB，
∵∠ABP=∠ACP，∠APB=∠ACB，
∴∠ACB=∠ACP，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ACP=∠DAC，
∴AF=FC，
∵AE=EF=FD，
设FD=x，则FC=AF=2x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，∠ABC=∠ADC=90°，
∴AC为⊙O的直径，
在Rt△DFC中，FC=2FD，
∴∠DCF=30°，
∴∠ACB=∠ACP=30°，
∵⊙O的半径为1，
∴AC=2，
∴AB=1，BC=$\sqrt{3}$，
∴AD=BC=$\sqrt{3}$，
∵AE=EF=FD，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题是有关圆的计算题，考查了矩形，等边三角形的性质及圆周角、圆心角、弦、弧之间的关系，熟练掌握矩形的四个角都是直角，对角线相等且平分；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．