Question

19．根据题意解答：
（1）如图 1，点A、C、F、B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA为α度，求∠GFB的度数（用关于a的代数式表示），并说明理由．
（2）如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示，BA⊥地面AE，CD∥地面AE，求∠1+∠2的度数，并说明理由．
（3）如图3，若∠3=40°，∠5=50°，∠7=80°，则∠1+∠2+∠4+∠6+∠8=170度．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据平角定义表示∠ECB=180°-α，由角平分线定义得：∠DCB=90°-$\frac{1}{2}$α，最后根据平行线性质得结论；
（2）作平行线，根据平行线的性质得：∠BAE=∠ABH=90°和∠1+∠CBH=180°，所以∠1+∠2=∠1+∠CBH+∠ABH=270°；
（3）作辅助线，根据外角定理和四边形的内角和360°列式后可得结论．

解答 解：（1）如图1，∵∠ACE=α，
∴∠ECB=180°-α，
∵CD平分∠ECB，
∴∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ECB=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵FG∥CD，
∴∠GFB=∠DCB=90°-$\frac{1}{2}$α；
（2）如图2，过B作BH∥AE，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE=∠ABH=90°，
∵CD∥AE，
∴BH∥CD，
∴∠1+∠CBH=180°，
∴∠1+∠2=∠1+∠CBH+∠ABH=180°+90°=270°；
（3）延长图中线段，构建如图所示的三角形和四边形，
由外角定理得：∠9=∠1+∠2，
∠BAC=∠9+∠8=∠1+∠2+∠8，
∵∠5=50°，∠7=80°，
∴∠6+∠GDH=130°，
∵∠3=40°，
∴∠AFE=140°，
∵∠BAC+∠4+180°-∠GDH+140°=360°，
∴∠BAC+∠4-∠GDH=40°，
∴∠1+∠2+∠4+∠8-130°+∠6=40°，
∴∠1+∠2+∠4+∠6+∠8=170°，
故答案为为：170．

点评 本题考查了平行线的性质和多边形的内角和，构建恰当的辅助线是本题的关键；熟练掌握外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知道四边形的内角和为360°；本题还可以分别过F、E、G、P、H作BQ的平行线，根据平行线得内错角相等和外角定理得出∠1+∠2+∠4+∠6+∠8=∠3+∠5+∠7，从而且得出结论．