Question

6．观察下列两组等式：
①$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；
②$\frac{1}{1×4}=\frac{1}{3}（1-\frac{1}{4}）$；$\frac{1}{4×7}=\frac{1}{3}（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$；$\frac{1}{7×10}=\frac{1}{3}（\frac{1}{7}-\frac{1}{10}）$
根据你的观察，先写出猜想：
（1）$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；（2）$\frac{1}{n（n+d）}$=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+d}$）；
然后用简单方法计算下列各题．
（1）$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}$；（2）$\frac{1}{1×6}+\frac{1}{6×11}+\frac{1}{11×16}+\frac{1}{16×21}$
（3）$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}$；（4）$\frac{1}{8}+\frac{1}{24}+\frac{1}{48}+\frac{1}{80}+\frac{1}{120}$．

Answer 1

分析 （1）观察①式得到一般性规律，写出即可；
（2）观察②式得到一般性规律，写出即可；
（1）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果；
（2）原式整理后，利用拆项法变形，计算即可得到结果；
（3）原式整理后，利用拆项法变形，计算即可得到结果；
（4）原式整理后，利用拆项法变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；（2）$\frac{1}{n（n+d）}$=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+d}$）；
故答案为：（1）$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；（2）$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+d}$）；
（1）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$=1-$\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$；
（2）原式=$\frac{1}{5}$（1-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{11}$+$\frac{1}{11}$-$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{21}$）=$\frac{1}{5}$（1-$\frac{1}{21}$）=$\frac{4}{21}$；
（3）原式=$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+$\frac{1}{6×7}$+$\frac{1}{7×8}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{8}$=$\frac{3}{8}$；
（4）原式=$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+$\frac{1}{8×10}$+$\frac{1}{10×12}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{12}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{12}$）=$\frac{5}{24}$．

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．