题目内容
16．
如图，已知正△ABCB，点D在BC上，点E在AC上，AE=CD，BE与AD交于点P．（1）直接写出图中的相似三角形；
（2）若AE：CE=1：2，求S△APE：S△ABE的值．
分析 （1）根据题意即可得到结论；
（2）过E作EF∥BC交AD于F，设AE=x，CE=2x，AC=3x，通过EF∥BC，得到比例式解得EF=$\frac{1}{3}$x，于是得到PE：BP=1：6，通过△AEP∽△ABE，得到AE2=PE•BE，证得PE=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，即可得到结论．
解答 
解：（1）图中的相似三角形有：△APE∽△ACD，△APE∽△ABE，△ABD∽△BPD，△BPD∽△BCE；
（2）过E作EF∥BC交AD于F，
设AE=x，CE=2x，
∴AC=3x，
∵AE=CD=x，
∴BD=2x，
∵EF∥BC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{CD}$，$\frac{EF}{BD}=\frac{PF}{BP}$，
∴EF=$\frac{1}{3}$x，
∴PE：BP=1：6，
∵△AEP∽△ABE，
∴$\frac{AE}{PE}=\frac{BE}{AE}$，
∴AE2=PE•BE，
∴PE=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴S△APE：S△ABE=（$\frac{PE}{AE}$）2=$\frac{1}{7}$．
点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟记相似三角形的判定和性质是解题的关键．
练习册系列答案
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如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若BD=2，则AD=6．
如图，AB为⊙O的直径，点C、F在⊙O上，ED⊥AF于D，AF、BC交于M，∠E=2∠ABC，若cos∠E=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求$\frac{AC}{BM}$的值．
若抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则c＞0；a＜0，-$\frac{b}{2a}$＞0，b＞0；a+b+c＞0，a-b+c＜0；$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$＞0，b2-4ac＞0；2a-b＜0，2a+b＜0．