如图(1)所示.直线y=$\sqrt{3}$x+6交x.y轴于点A.B.M为y轴正半轴上一点.⊙M过A.B.交x轴于另一点C．(1)求M点的坐标,P是弧BC上一动点.连PA.PB.PC.当P运动变化时.求证:PB+PC=PA,.点N是线段BM上一动点.过N点作DE⊥AB交⊙M与D.E.连接AE.BD.当点N在运动的过程中.下列两个结论:①AE+BD的值不变,②AE2+BD2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．如图（1）所示，直线y=$\sqrt{3}$x+6交x、y轴于点A、B，M为y轴正半轴上一点，⊙M过A、B，交x轴于另一点C．

（1）求M点的坐标；
（2）如图（2）P是弧BC上一动点，连PA、PB、PC，当P运动变化时，求证：PB+PC=PA；
（3）如图（3），点N是线段BM上一动点（不与B、M重合），过N点作DE⊥AB交⊙M与D、E，连接AE、BD，当点N在运动的过程中，下列两个结论：①AE+BD的值不变；②AE²+BD²的值不变．其中有一个成立，请选择并求出其值．

分析（1）如图（1）所示；过点M作MD⊥AB，垂足为D．先求得点A、B的坐标，从而得到OA=2$\sqrt{3}$，OB=6，利用特殊锐角三角函数值可求得∠ABO=30°，于是得到AB=2AO=4$\sqrt{3}$，由垂径定理可知DB=AD=2$\sqrt{3}$，然后再△DBM中，由特殊锐角三角函数值可求得MB=4，从而可求得点M的坐标；
（2）如图（2）所示，连接BC，在AP上取点N使PB=PN．先证明△BPN是等边三角形，然后再证明△ANB≌△CPB，从而可得到PB+PC=PA；
（3）如图（3）所示，延长AM交⊙M于点F，连接BF、EF、CG．先证明ED∥BF，于是得到$\widehat{BE}=\widehat{FD}$，然后证得$\widehat{EF}=\widehat{BD}$，故此∠EAF=∠BGD，设∠EAF=∠BGD=α，由锐角三角函数的定义可知：AE=AF•cosα=2rcosα，BD=GBsinα=2rsinα，由sina²+cosa²=1可知：AE²+BD²=4r²（r为⊙M的半径）．

解答解：（1）如图（1）所示；过点M作MD⊥AB，垂足为D．

令x=0得：y=6，
∴点B的坐标为（0，6）．
令y=0得：$\sqrt{3}$x+6=0．
解得：x=-2$\sqrt{3}$．
∴OA=2$\sqrt{3}$．
∴tan∠ABO=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠ABO=30°．
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
∵MD⊥AB，
∴DA=DB=2$\sqrt{3}$．
∴$\frac{BD}{MB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{MB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
解得：MB=4．
∴OM=OB-BM=2．
∴点M的坐标为（0，2）．
（2）如图（2）所示，连接BC，在AP上取点N使PB=PN．

∵MO⊥AC，
∴OC=OA=2$\sqrt{3}$．
∴tan∠BCO=$\frac{6}{2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．
∴∠BCO=60°．
∴∠BPA=60°．
又∵PB=PN，
∴△BPN是等边三角形．
∴∠BNP=60°，∠BPN=60°，BN=BP．
∴∠ANB=120°．
在△ABC中∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠ABC=60°．
∴∠APC=60°．
∴∠BPC=∠BPN+∠APC=120°．
∴∠ANB=∠CPB．
在△ANB和△CPB中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAN=∠BCP}\\{∠ANB=∠CPB}\\{BN=BP}\end{array}\right.$，
∴△ANB≌△CPB．
∴AN=PC．
∴AP=AN+PN=PC+PB．
∴PB+PC=PA．
（3）AE²+BD²的值不变．
理由：如图（3）所示，延长AM交⊙M于点F，连接BF、EF、CG．

∵AF是⊙M的直径，
∴∠AEF=∠ABF=90°．
∴BF⊥AB．
∵ED⊥AB，
∴ED∥BF．
∴$\widehat{BE}=\widehat{FD}$．
∴$\widehat{EF}=\widehat{BD}$．
∴∠EAF=∠BGD．
设∠EAF=∠BGD=α，则AE=AF•cosα=2rcosα，BD=GBsinα=2rsinα（r为⊙M的半径）．
∴AE²+BD²=（2rcosα）²+（2rsinα）²=4r²（sina²+cosa²）=4r²．