Question

12．如图1，在△ABC和△ADE中，AC=AB，AE=AD，∠BAC=∠DAE=α，CE、DB交于点F，连接AF．
（1）如图2，当α=90°时，猜想线段AF、BF、CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）若AF=kBF，求$\frac{CF}{BF}$的值．（用含k、α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）过点A作AP⊥AF交CE于点P，证出∠PAC=∠FAB，由∠BAC=∠DAE=90°得出∠CAE=∠BAD，由SAS证明△BAD≌△CAE，得出CE=BD，∠ACE=∠ABD，由ASA证明△ACP≌△ABF，得出AP=AF，△APF为等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）过点A作AP⊥AF交CE于点P，可以得出△ABC∽△FBK，就有△KBC∽△FBA，根据等腰三角形的性质和三角函数即可得出结果．

解答 （1）解：猜想：CF=BF+$\sqrt{2}$AF，理由如下：     
过点A作AP⊥AF交CE于点P，如图1所示：
∴∠BAC=∠PAF=90°，
∴∠BAC-∠PAO=∠PAF-∠PAH，
∴∠PAC=∠FAB，
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAD与△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAD=∠CAE}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD=CE，∠ACE=∠ABD．
在△PAC和△FAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠ABD}&{\;}\\{AC=AB}&{\;}\\{∠PAC=∠FAB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PAC≌△FAB（ASA），
∴CP=BF，AP=AF，
∴△APF为等腰直角三角形
∴PF=$\sqrt{2}$AF，
∴CF=BF+$\sqrt{2}$AF；
（2）解：在CF上取FK=FB，连接BK，如图2所示：
∴∠FBK=∠FKB=$\frac{1}{2}$（180-∠BFK）．
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABD，
∴∠CAB=∠BFK，
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC），
∴∠ABC=∠FBK．
∴△ABC∽△FBK，
∴$\frac{AB}{BF}=\frac{BC}{BK}$，
∵∠ABC=∠FBK，
∴∠ABC-∠ABK=∠FBK-∠ABK，
∴∠KBC=∠FBA．
∴△KBC∽△FBA，
∴$\frac{KC}{FA}=\frac{KB}{BF}$，
∴CK=AF•$\frac{KB}{BF}$，
∵$\frac{\frac{1}{2}KB}{BF}=sin\frac{α}{2}$，
∴KB=2BF•sin$\frac{α}{2}$，
∴CK=AF•$\frac{2BF•sin\frac{α}{2}}{bf}$=AF•2sin$\frac{α}{2}$，
∴CF=BF+2AF•sin$\frac{α}{2}$，
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{BF+2kBF•sin\frac{α}{2}}{bf}$=1+2ksin$\frac{α}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，锐角三角函数的运用，等腰三角形的性质的运用；解答时证明三角形全等是关键，证明三角形相似是难点．