Question

已知关于x的一元二次方程：x²-（k+2）x+

1

4

k²+1=0．
（1）k取什么值时，原方程有两个不相等的实数根？
（2）如果方程的两个实数根x₁、x₂（x₁＜x₂）满足x₁+|x₂|=4，求k的值和方程的两根．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）根据判别式的意义得到△=（k+2）²-4（

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4

k²+1）＞0，然后解不等式得到k＞0；
（2）根据根与系数的关系得x₁+x₂=k+2＞0，x₁•x₂=

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4

k²+1＞0，则0＜x₁＜x₂，对x₁+|x₂|=4去绝对值得到x₁+x₂=4，所以k+2=4，解得k=2，当k=2时，原方程变形为x²-4x+2=0，然后利用配方法解方程．

解答：解：（1）根据题意得△=（k+2）²-4（

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k²+1）＞0，解得k＞0，
即k＞0时，原方程有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得x₁+x₂=k+2＞0，x₁•x₂=

1

4

k²+1＞0，
∴0＜x₁＜x₂，
∴x₁+x₂=4，
∴k+2=4，解得k=2，
当k=2时，原方程变形为x²-4x+2=0，
x²-4x+4=2，
（x-2）²=2，
所以x₁=2+

2

，x₂=2-

2

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系．