Question

如图，抛物线y=

1

2

x2+bx-2与x轴交于A，B两点，与y交于C点，且A（-1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（　　）

• A、

  5

  8

• B、

  24

  41

• C、

  23

  40

• D、

  25

  41

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,二次函数的性质

专题：

分析：把点A的坐标代入抛物线解析式求出b的值，然后求出点C、D的坐标，再求出点C关于x轴的对称点C′的坐标，利用待定系数法求函数解析式直线C′D的解析式，然后令y=0求解即可．

解答：解：∵抛物线y=

1

2

x²+bx-2经过点A（-1，0），
∴

1

2

×（-1）²+b×（-1）-2=0，
解得b=-

3

2

，
∴函数解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x-

3

2

）²-2-

9

8

，
=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴顶点D的坐标为（

3

2

，-

25

8

），
令x=0，则y=-2，
∴点C的坐标为（0，-2），
∴点C关于x轴的对称点C′的坐标为（0，2），
连接C′D与x轴的交点即为所求的MC+MD的值最小时的点M，
设直线C′D的解析式为y=kx+b，
则

b=2 3 2 k+b=- 25 8

，
解得

k=- 41 12 b=2

，
∴直线C′D的解析式为y=-

41

12

x+2，
令y=0，则-

41

12

x+2=0，
解得x=

24

41

，
∴m=

24

41

．
故选：B．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，确定出点M的位置并求出点C′、D的坐标是解题的关键．