Question

当代数式

x2+6x+13

+

x2+y2

+

y2-4y+5

取得最小值时，x+y=

 

．

Answer 1

考点：无理函数的最值

专题：数形结合

分析：可将不熟悉的“求三个二次根式和的最小值”的问题转化为熟悉的“求三条线段和的最小值“的问题．若A的坐标为（-3，2），B的坐标为（x，0），C的坐标为（0，y），D的坐标为（1，2），则根据勾股定理可得AB=

x2+6x+13

，BC=

x2+y2

，CD=

y2-4y+5

，从而得到原式=AB+BC+CD，只需求出AB+BC+CD的最小值就可解决问题．

解答：解：如图，A的坐标为（-3，2），D的坐标为（1，2），点B在x轴上，点C在y轴上，
过点A作AE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，延长DF到点D′，使得FD′=FD，
连接AD交y轴于点H，连接AB、BC、CD、BD、BD′、AD′，
则DH⊥y轴，AD⊥DD′，BD=BD′，点D′的坐标为（1，-2）．
设B的坐标为（x，0），C的坐标为（0，y），
在Rt△AEB中，
∵AE=2，BE=

.

x-(-3)

.

=

.

x+3

.

，
∴AB=

AE2+BE2

=

22+(x+3)2

=

x2+6x+13

．
在Rt△BOC中，
∵OB=

.

x

.

，OC=

.

y

.

，
∴BC=

OB2+OC2

=

x2+y2

．
在Rt△DHC中，
∵DH=1，CH=

.

y-2

.

，
∴CD=

DH2+CH2

=

12+(y-2)2

=

y2-4y+5

．
∴原式=AB+BC+CD．
根据两点之间线段最短可得：
当B、C、D三点共线时，BC+CD最短，等于BD长
此时AB+BC+CD的最小值等于AB+BD．
∵BD=BD′，∴AB+BD=AB+BD′．
根据两点之间线段最短可得：
当A、B、D′三点共线时，AB+BD′最短，等于AD′长．
设直线AD′的解析式为y=kx+b，
则

-3k+b=2 k+b=-2

．
解得：

k=-1 b=-1

．
∴直线AD′的解析式为y=-x-1．
当x=0时，y=-1；当y=0时，x=-1．
∴当代数式

x2+6x+13

+

x2+y2

+

y2-4y+5

取得最小值时，x=-1，y=-1．
∴x+y=-2．
故答案为：-2．

点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，考查了创造性思维和数形结合的思想，而把问题转化为求线段和的最小值是解决本题的关键．