Question

将等腰Rt△ABC和等腰Rt△BDE的直角顶点B重合，M、N、P分别是AD、AC、DE边的中点，且A、B、D在同一直线上，试说明MP与MN的关系．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接CD，连接AE并延长与CD相交于点F，根据等腰直角三角形的性质可得AB=BC，BD=BE，然后利用“边角边”证明△ABE和△CBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠BCD，然后求出∠BAE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MP∥AE，MP=

1

2

AE，MN∥CD，MN=

1

2

CD，再等量代换即可得解．

解答：解：如图，连接CD，连接AE并延长与CD相交于点F，
∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，
在△ABE和△CBD中，

AB=BC ∠ABC=∠DBE=90° BD=BE

，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，∠BAE=∠BCD，
∴∠BAE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°，
∴AE⊥CD，
∵M、N、P分别是AD、AC、DE边的中点，
∴MP、MN分别是△ADE和△ACD的中位线，
∴MP∥AE，MP=

1

2

AE，MN∥CD，MN=

1

2

CD，
∴MP=MN，且MP⊥MN．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟记定理与三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．