Question

20．己知如图，在平行四边形ABCD中，AC=$\sqrt{2}$AB，求证：△AOB∽△ABC．

Answer 1

分析 根据平行四边形对角线互相平分可得AO=$\frac{1}{2}$AC，然后根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似证明．

解答 证明：在平行四边形ABCD中，AO=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=$\sqrt{2}$AB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\sqrt{2}$，
$\frac{AB}{AO}$=$\frac{AB}{\frac{1}{2}AC}$=$\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}AB}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AB}{AO}$，
又∵∠BAC=∠OAB，
∴△AOB∽△ABC．

点评 本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，熟记性质并求出对应边成比例是解题的关键．