Question

2．如图，在平行四边形ABCD纸片中，AC⊥AB，AC与BD交于点O，把△OAB沿对角线AC翻折后，E与B对应．
（1）试问：四边形ACDE是什么形状的四边形？为什么？
（2）若EO平分∠AOD，求证△ODE为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）首先根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD；又AB⊥AC，得出∠BAC=∠DCA=90°；再根据折叠的性质得出AE=AB，∠EAO=∠BAO=90°，那么AE∥CD，AE=CD，且∠EAC=90°，从而得到四边形ACDE为矩形；
（2）根据平行四边形与折叠的性质得出OE=OD，再证明∠AOB=∠AOE=∠EOD=60°，从而证明△ODE为等边三角形．

解答 （1）解：四边形ACDE是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD；
又∵AB⊥AC，
∴∠BAC=∠DCA=90°；
∵把△OAB沿对角线AC翻折后，E与B对应，
∴AE=AB，∠EAO=∠BAO=90°，
∴AE∥CD，AE=CD，且∠EAC=90°，
∴四边形ACDE是矩形；

（2）证明：∵把△OAB沿对角线AC翻折后，E与B对应，
∴∠AOE=∠AOB，OE=OB．
∵在平行四边形ABCD中，OD=OB，
∴OE=OD．
∵EO平分∠AOD，
∴∠AOE=∠DOE，
∴∠AOE=∠DOE=∠AOB．
∵∠AOE+∠DOE+∠AOB=180°，
∴∠AOE=∠DOE=∠AOB=60°，
∴△ODE为等边三角形．

点评 本题考查了平行四边形的性质、翻折变换的性质、矩形的判定以及等边三角形的判定；解题的关键是牢固掌握平行四边形的性质、翻折变换的性质等知识点．