Question

12．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD和BC上，且CD=4DE=4a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上点P处，则FP=3$\sqrt{2}$a．

Answer 1

分析 作PM⊥BC于M，则MP=DC=4a，由矩形的性质得出∠C=∠D=90°．由折叠的性质得出PE=CE=3a=3DE，∠EPF=∠C=90°，得出∠DPE=∠FPM，在Rt△MPF中，由三角函数求出FP即可．

解答 解：作PM⊥BC于M，如图所示：
则MP=DC=4a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=∠MPD=90°．
∵DC=4DE=4a，
∴CE=3a，DE=a，
由折叠的性质得：PE=CE=3a=3DE，∠EPF=∠C=90°，
∴∠EPF=∠MPD
∴∠DPE=∠FPM，
DP=$\sqrt{P{E}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{（3a）^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{2}$a，
在Rt△MPF中，∵cos∠MPF=$\frac{PM}{PF}$，
∴FP=$\frac{PM}{cos∠MPF}$=$\frac{PM}{cos∠DPE}$=$\frac{PM}{\frac{PD}{PE}}$=$\frac{4a}{\frac{2\sqrt{2}a}{3a}}$=3$\sqrt{2}$a；
故答案为：3$\sqrt{2}$a．

点评 本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角函数等知识；熟练掌握折叠和矩形的性质，求出∠DPE的余弦值是解决问题的关键．