Question

20．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点B在原点O，直角边BC在x轴的正半轴上，∠ACB=90°，点A的坐标为（3，$\sqrt{3}$），点D是BC边上一个动点（不与点B，C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠ABC沿直线DE翻折，点B落在x轴上的点F处当△AEF为直角三角形时，点F的坐标是（2，0）或（4，0）．

Answer 1

分析 分两种情讨论即可①如图1中，当∠AFE=90°，在Rt△ACF中，求出CF即可．如图2中，当∠EAF=90°时，在Rt△ACF中，求出CF即可．

解答 解：①如图1中，当∠AFE=90°，

∵A（3，$\sqrt{3}$），
∴OC=3，AC=$\sqrt{3}$，
∴tan∠AOC=$\frac{AC}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOC=30°，
∵EO=EF，
∴∠EOF=∠EFO=30°，
∴∠AEF=∠EOF+∠EFO=60°，
∴∠EAF=∠FAC=30°，
∴CF=AC•tan30°=1，
∴OF=OC-CF=2，
∴F（2，0）．

②如图2中，当∠EAF=90°时，

易知∠CAF=30°，
CF=AC•tan30°=1，
∴OF=OC+CF=4，
∴F（4，0），
③∠AEF=60°，不可能为90°．
故答案为（2，0）或（4，0）．

点评 本题考查翻折变换、坐标与图形的变化、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．