题目内容

已知：如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点P在边AC上，且AP=
1
2
AB，联结BP，以BP为一边作△BPQ（点B、P、Q按逆时针排列），点G是△BPQ的重心，联结BG，∠PBG=∠BCA，∠QBG=∠BAC，联结CQ并延长，交边AB于点M．设PC=x，
MQ
MC
=y．
（1）求
BP
BQ
的值；
（2）求y关于x的函数关系式．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）延长BG，交边PQ于点D，延长BD至点E，使DE=BD，连接PE，先证出△PDE≌△QDB，得出PE=BQ，∠PED=∠QBD，再证出△BPE∽△CBA，得出
BP
PE
=
BC
AB
=
5
4
，即可证出
BP
BQ
=
5
4
；
（2）延长AB至点F，使BF=AB，连接QF，过点Q作QH∥AC，交边AB于点H，证出
BP
BQ
=
BC
BF
，再根据∠PBC=∠QBF，证出△PBC∽△QBF，得出∠BCP=∠BFQ，
PC
QF
=
BP
BQ
=
5
4
，再根据
QF
HQ
=
BC
AB
=
5
4
，得出
PC
QF
•
QF
HQ
=（
5
4
）2，从而求出HQ=
16
25
PC=
16
25
x，最后根据
MQ
MC
=
HQ
AC
得出y=
16
25
x
x+2
，再进行整理即可．
解答：解：（1）延长BG，交边PQ于点D，由点G是△BPQ的重心，可知PD=DQ，
延长BD至点E，使DE=BD，连接PE，
∵PD=DQ，DE=BD，∠PDE=∠QDB，
∴△PDE≌△QDB，
∴PE=BQ，∠PED=∠QBD，
∵∠QBG=∠BAC，
∴∠PED=∠BAC，
∵∠PBG=∠BCA，
∴△BPE∽△CBA，
∴
BP
PE
=
BC
AB
=
5
4
，
∴
BP
BQ
=
5
4
；

（2）延长AB至点F，使BF=AB，连接QF，过点Q作QH∥AC，交边AB于点H，
∵
BP
BQ
=
5
4
，
BC
BF
=
5
4
，
∴
BP
BQ
=
BC
BF
，
∵∠PBQ=∠BAC+∠BCA，∠CBF=∠BAC+∠BCA，
∴∠PBQ=∠CBF，
∴∠PBC=∠QBF，
∴△PBC∽△QBF，
∴∠BCP=∠BFQ，
PC
QF
=
BP
BQ
=
5
4
，
∵HQ∥AC，
∴∠BHQ=∠BAC，
∴△FQH∽△CBA，
∴
QF
HQ
=
BC
AB
=
5
4
，
∴
PC
QF
•
QF
HQ
=（
5
4
）2，即
PC
HQ
=
25
16
，
∴HQ=
16
25
PC=
16
25
x，
∵HQ∥AC，
∴
MQ
MC
=
HQ
AC
，即y=
16
25
x
x+2
，
∴y关于x的函数关系式为：y=
16x
25x+50
．
点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的重心，关键是做出辅助线，构造相似三角形．
练习册系列答案
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（1）计算（π-3）0-|
5
-3|+（-
1
3
）-2-
5
；
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1
a-b
-
1
a+b
）÷
ab
a2-b2
．
计算：
（1）（
1
2
）-2-tan30°+|1-
3
|-（π-3.14）0；
（2）先化简，再求值：
a-3
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5
a-2
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a2-2a+1
a2-1
-
a
a-1
．
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AD
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（2）若CM=8
3
，求
AC
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