Question

如图，抛物线y=ax²+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、点B，与y轴交于点C，顶点为D，tan∠ABC=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一点N，使得直线ON将△BOC的面积分成相等的两部分，求点N的坐标；
（3）在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由抛物线y=ax²+bx+8（a≠0）与y轴交于点C，得出C（0，8），在直角△OBC中，根据正切函数的定义得tan∠OBC=

OC

OB

=

8

OB

=2，求出B点坐标为（4，0），再把A（-2，0）、B（4，0）代入y=ax²+bx+8，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设直线ON与BC交于点E，由直线ON将△BOC的面积分成相等的两部分，得出E为BC的中点，根据中点坐标公式求出E点坐标为（2，4），设直线ON的解析式为y=kx，将E点坐标（2，4）代入，利用待定系数法求出直线ON的解析式为y=2x，与抛物线的解析式联立得到方程组

y=2x y=-x2+2x+8

，解方程组即可求出点N的坐标；
（3）假设存在点P，设P点坐标为（2，t），用含t的代数式分别表示PH和PO的长度．设OB的中垂线交CD于H，根据等腰直角三角形的性质得出PH=

2

PO，据此列出方程，方程若有实数根则能求出P点坐标，则点P存在，若没有实数根则不能求出点P的坐标，则点P不存在．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+8（a≠0）与y轴交于点C，
∴C（0，8）．
在直角△OBC中，∵∠BOC=90°，OC=8，
∴tan∠OBC=

OC

OB

=

8

OB

=2，
∴OB=4，B点坐标为（4，0）．
把A（-2，0）、B（4，0）代入y=ax²+bx+8，
得

4a-2b+8=0 16a+4b+8=0

，解得

a=-1 b=2

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+8；

（2）设直线ON与BC交于点E．
∵直线ON将△BOC的面积分成相等的两部分，
∴E为BC的中点．
∵B（4，0），C（0，8），
∴E点坐标为（2，4）．
设直线ON的解析式为y=kx，
将E点坐标（2，4）代入，得4=2k，
解得k=2，
即直线ON的解析式为y=2x．
由

y=2x y=-x2+2x+8

，解得

x=2 2 y=4 2

，或

x=-2 2 y=-4 2

，
∴点N的坐标为（2

2

，4

2

）或（-2

2

，-4

2

）；

（3）假设满足条件的点P存在，依题意可设P（2，t）．
∵y=-x²+2x+8=-（x²-2x+1）+1+8=-（x-1）²+9，
∴顶点D的坐标为（1，9）．
由C（0，8），D（1，9）求得直线CD的解析式为y=x+8，它与x轴的夹角为45°．
设OB的中垂线交CD于H，点P到CD的距离为d，如图，则H（2，10），|PH|=|10-t|．
∵PH=

2

d，d=PO，
∴PH=

2

PO，
∵PO=

4+t2

，
∴|10-t|=

2

×

4+t2

，
两边平方并整理得：t²+20t-92=0，
解得t=-10±8

3

．
故存在满足条件的点P，P的坐标为（2，-10+8

3

）或（2，-10-8

3

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，锐角三角函数的定义，三角形的面积，抛物线的顶点求法，等腰直角三角形的性质，综合性较强，难度适中．