Question

19．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，AD=BC=2，E是BD中点，点F在线段CD上，∠DFE=45°，DF=3，求EF、AB的长．

Answer 1

分析 过点E作EM⊥CD于点M，由三角形的中位线结合BC的长度可得出EM的长度，结合∠DFE=45°即可得出△MEF为等腰直角三角形，由此即可得出MF、EF的长度，结合CF=3以及线段间的关系即可得出CD的长度，再根据AD=2利用勾股定理即可求出AB的长度．

解答 解：过点E作EM⊥CD于点M，如图所示．
∵∠C=90°，点E为线段BD的中点，
∴EM∥BC，点M为线段CD的中点，EM为△DBC的中位线．
∵BC=2，
∴ME=$\frac{1}{2}$BC=1．
∵∠DFE=45°，
∴△MEF为等腰直角三角形，
∴MF=EM=1，EF=$\sqrt{2}$EM=$\sqrt{2}$．
∵DF=3，
∴DM=DF-MF=2，CD=2DM=4．
∵AD=BC=2，
∴AC=AD+CD=6．
在Rt△ABC中，BC=2，AC=6，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了勾股定理、三角形的中位线以及等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是根据三角形的中位线求出EF、CD的长度．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，选用合适的辅助线是关键．