Question

11．如图1，关于x的二次函数y=-x²+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；
（3）如图2，F（3，0）为x轴上一点，直线l经过点F，在l上存在点M，使以AB为斜边的Rt△AMB只有一个，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）把A（-3，0），点C（0，3）代入y=-x²+bx+c解方程组即可．
（2）存在．如图1中，作PM⊥AD于M，设PM=PE=x，在Rt△PDM中，∵DM²+PM²=PD²，列出方程即可解决问题．
（3）如图3中，设AB为直径的⊙E交y轴于M、M′．连接EM，FM，FM′，AM，BM．首先证明直线FM、FM′就是满足条件的直线l，利用待定系数法即可解决问题．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．

（2）存在．
理由：如图1中，作PM⊥AD于M，设PM=PE=x，

∵AM=$\sqrt{A{P}^{2}-P{M}^{2}}$，AE=$\sqrt{A{P}^{2}-P{E}^{2}}$，
∴AM=AE=2，
∵AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴DM=2$\sqrt{5}$-2，
在Rt△PDM中，∵DM²+PM²=PD²，
∴（2$\sqrt{5}$-2）²+x²=（4-x）²，
∴x=$\sqrt{5}$-1，
∴点P坐标（-1，$\sqrt{5}$-1）．

（3）如图3中，设AB为直径的⊙E交y轴于M、M′．连接EM，FM，FM′，AM，BM．

∵EM=2，OE=1，
∴OM=$\sqrt{E{M}^{2}-E{O}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴FM=$\sqrt{O{M}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵EM²+FM²=2²+（2$\sqrt{3}$）²=16，EF²=4²=16，
∴EF²=EM²+FM²，
∴∠EMF=90°，
∴FM是⊙E的切线，
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°，
∴△ABM是直角三角形，
又直线FM与⊙E相切，
∴直线AM上存在点M，使以AB为斜边的Rt△AMB只有一个，同理直线FM′也是满足条件的直线l，
∴满足条件的直线l为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、勾股定理、圆、切线的判定等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，第三个问题想到直径所对的圆周角是直角解决问题，属于中考压轴题．