Question

19．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为$\frac{5}{2}$，CD=4，则弦AC的长为（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 首先连接AO并延长，交CD于点E，连接OC，由直线AB与⊙O相切于点A，根据切线的性质，可得AE⊥AB，又由CD∥AB，可得AE⊥CD，然后由垂径定理与勾股定理，求得OE的长，继而求得AC的长．

解答 解：连接AO并延长，交CD于点E，连接OC，
∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴EA⊥AB，
∵CD∥AB，
∠CEA=90°，
∴AE⊥CD，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵在Rt△OCE中，OE=$\sqrt{O{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴AE=OA+OE=4，
∴在Rt△ACE中，AC=$\sqrt{C{E}^{2}+A{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故选A．

点评 此题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理以及平行线的性质．此题难度适中，正确的添加辅助线是解题的关键．