Question

12．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，正方形CDEF的顶点E在斜边AB上，且AE=5，BE=8，则△ADE与△BEF的面积和为1780．

Answer 1

分析 设正方形CDEF的边长为x，则EF=ED=x，则利用勾股定理表示出BF=$\sqrt{{8}^{2}-{x}^{2}}$，再证明Rt△BEF∽Rt△EAD，利用相似比求出x的值，则开始计算出S_△BEF，然后利用相似三角形的性质计算出S_△AED，从而得到△ADE与△BEF的面积和．

解答 解：设正方形CDEF的边长为x，则EF=ED=x，
所以BF=$\sqrt{{8}^{2}-{x}^{2}}$，
∵EF∥AC，
∴∠BEF=∠A，
∴Rt△BEF∽Rt△EAD，
∴BF：DE=BE：AE，即$\sqrt{{8}^{2}-{x}^{2}}$：x=8：5，解得x=$\frac{40\sqrt{89}}{89}$，
∴BF=$\frac{64\sqrt{89}}{89}$，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$BF•EF=$\frac{1}{2}$•$\frac{64\sqrt{89}}{89}$•$\frac{40\sqrt{89}}{89}$=1280，
∵$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△AED}}$=（$\frac{8}{5}$）²，
∴S_△AED=500，
∴△ADE与△BEF的面积和=1280+500=1780．
故答案为1780．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了正方形的性质．