Question

16．已知：△ABC内接于⊙O，过点B作直线EF，AB为非直径的弦，且EF是⊙O的切线
（1）求证：∠CBF=∠A；
（2）若∠A=30°，BC=2，连接OC并延长交EF于点M，求由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）连结BO并延长交⊙O于H，连结HC，则∠H=∠A．由HB是直径，根据圆周角定理得出∠HCB=90°，则∠H+∠CBH=90°．再根据切线的性质得出HB⊥EF，则∠CBF+∠CBH=90°，根据同角的余角相等得出∠H=∠CBF，等量代换即可得到∠A=∠CBF；
（2）先解Rt△HCB，得出HB=4，OB=2．由∠BOM=2∠A=60°，得出BM=OB×tan60°=2$\sqrt{3}$．再根据S=S_△OBM-S_扇形OBC，代入数据计算即可求解．

解答 （1）证明：连结BO并延长交⊙O于H，连结HC，则∠H=∠A．
∵HB是直径，
∴∠HCB=90°，
∴∠H+∠CBH=90°．
又∵OB是半径，EF是⊙O的切线，
∴HB⊥EF，
∴∠CBF+∠CBH=90°，
∴∠H=∠CBF，
∴∠A=∠CBF；

（2）解：∵在Rt△HCB中，BC=2，∠H=∠A=30°，
∴HB=4，OB=2．
∵∠BOM=2∠A=60°，
∴BM=OB×tan60°=2$\sqrt{3}$．
S=S_△OBM-S_扇形OBC=$\frac{1}{2}OB•BM-\frac{{60π×{2^2}}}{360}$=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$=$2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$，
故由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积为$2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，余角的性质，扇形面积的计算，准确作出辅助线是解题的关键．