Question

1．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．实施操作：将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点B′．
（1）用尺规在图中作出△AEB′（保留作图痕迹）；
（2）求B′、C两点之间的距离．

Answer 1

分析 （1）分别以A、E为圆心，AB、EB为半径作弧，交点为B′，再连接AB′、EB′即可；
（2）连接BB′，交AE于点F，连接B′C；由折叠的性质得出BF=B′F，证出EF为△BCB′的中位线，得出EF=$\frac{1}{2}$B′C，由勾股定理求出AE、得出cos∠BEF，在Rt△BEF中，由三角函数求出EF，即可得出B′C的长．

解答 解：（1）作法：①分别以A、E为圆心，AB、EB为半径作弧，交点为B′，
②连接AB′、EB′，得△AEB′；
如图1所示：
（2）连接BB′交AE于点F，连接B′C；
如图2所示：
由折叠的性质得：BF=B′F，
即F为BB′的中点，
∵E是BC的中点，
∴EF为△BCB′的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$B′C，
在Rt△ABE中，AB=4cm，BE=3cm，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=5cm，cos∠BEF=$\frac{3}{5}$，
在Rt△BEF中，EF=BE×cos∠BEF=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$cm，
∴B′C=2EF=$\frac{18}{5}$cm．

点评 本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、三角形中位线定理、三角函数；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行作图与推理计算是解决问题的关键．