Question

20．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①∠OBE=$\frac{1}{2}$∠ADO；②EG=EF；③GF平分∠AGE；④EF⊥GE，其中正确的是①②③．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质可得∠ADB=∠DBC，再证明△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得∠OBE=$\frac{1}{2}$∠OBC，进而得到∠OBE=$\frac{1}{2}$∠ADO；首先证明EG=$\frac{1}{2}$AB，再根据三角形中位线的性质可得EF=$\frac{1}{2}$CD，进而得到EG=EF；证明EF∥AB，根据平行线的性质可得∠EFG=∠AGF，再根据等边对等角可得∠EFG=∠EGF，进而得到∠EGF=∠AGF．然后利用排除法可得A正确．

解答 ①②③解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，DO=BO=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD=2AD，
∴AD=DO，
∴BC=BO，
∵E是CO中点，
∴∠OBE=$\frac{1}{2}$∠OBC，
∴∠OBE=$\frac{1}{2}$∠ADO，故①正确；
②∵BC=BO，
∴△BOC是等腰三角形，
∵E是CO中点，
∴EB⊥CO，
∴∠BEA=90°，
∵G为AB中点，
∴EG=$\frac{1}{2}$AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$CD
∴EG=EF，故②正确；
③∵，E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥DC，
∵DC∥AB，
∴EF∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠EGF，
∴∠EGF=∠AGF，
∴GF平分∠AGE，故③正确；
故答案为：①②③．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．