Question

3．已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=CD=10，$sinC=\frac{4}{5}$，若点E，F分别是BC，CD上的动点，点E从点B出发向点C运动，点F从点C出发向点D运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF．求△EFC面积的最大值为10．

Answer 1

分析 本题要先求出三角形EFC的面积与时间的函数关系式，可根据E，F的速度用时间t表示出CE，CF的长，△CEF中，可以用CE作底边，以CF•sinC作高，可据此得出三角形CEF的面积和时间t的函数关系式，根据函数的性质即可求出EFC的面积最大值和对应的时间t的值，然后根据时间t确定出E、F的具体位置．

解答 解：设运动时间为x秒，则有BE=CF=x，EC=10-x，
如图，过点F作FN⊥BC，垂足为N，

在Rt△FNC中，FN=CF•sinC=$\frac{4}{5}$x，
∴S_△EFC=$\frac{1}{2}$EC•FN=$\frac{1}{2}$（10-x）×$\frac{4}{5}$x=-$\frac{2}{5}{x}^{2}$+4x，
当x=-$\frac{4}{2×（-\frac{2}{5}）}$=5时，S_△EFC=-$\frac{2}{5}×{5}^{2}$+4×5=10，
即△EFC面积的最大值为10，
此时，点E，F分别在BC，CD的中点处．
故答案为：10．

点评 本题主要考查了梯形的性质、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点，解决本题的关键是二次函数的性质．