题目内容
2．
在平面直角坐标系xOy中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…，An和点C1，C2，C3，…，Cn分别落在直线y=x+1和x轴上．抛物线L1过点A1，B1，且顶点在直线y=x+1上，抛物线L2过点A2，B2，且顶点在直线y=x+1上，…，按此规律，抛物线Ln过点An，Bn，且顶点也在直线y=x+1上，其中抛物线L2交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1，抛物线L3交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2，…，抛物线Ln+1交正方形AnBnCnCn-1的边AnBn于点Dn（其中n≥2且n为正整数）．（1）直接写出下列点的坐标：B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4）；
（2）写出抛物线L2、L3的解析式，并写出其中一个解析式求解过程，再猜想抛物线Ln的顶点坐标
（3）设A1D1=k1•D1B1，A2D2=k2•D2B2，试判断k1与k2的数量关系并说明理由．
分析 （1）由直线解析式可求得A1的坐标，由正方形的性质则可求得B1坐标，由题意可求得A2的横坐标，则可求得其纵坐标，再利用正方形的性质可求得B2的坐标，同理可求得B3的坐标；
（2）由对称性可求得抛物线的对称轴，则可求得其顶点坐标，再结合已知点的坐标可求得抛物线解析式，可写出L2、L3的解析式；利用An、Bn的变化规律，可求得抛物线Ln的顶点坐标；
（3）由抛物线L2的解析式可求得A1D1的长，则可求得k1，同理可求得k2，从而可求得两者之间的数量关系．
解答 解：
（1）∵A1在直线y=x+1上，
∴A1的坐标为（0，1），
∴A1B1=OA1=1，
∴B1（1，1），
∴A2横坐标为1，且在直线y=x+1上，
∴A2（1，2），
∴A2B2=A2C1=2，
∴B2（3，2），同理B3（7，4），
故答案为：（1，1）；（3，2）；（7，4）；
（2）抛物线L2、L3的解析式分别为y=-（x-2）2+3，y=-$\frac{1}{2}$（x-5）2+6；
抛物线L2的解析式的求解过程如下：
对于直线y=x+1，设x=0，可得y=1，
∴A1（0，1），
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴C1（1，0），又点A2在直线y=x+1上，
∴可得点A2（1，2），
又∵B2的坐标为（3，2），
∴抛物线L2的对称轴为直线x=2，
∴抛物线L2的顶点为（2，3），
设抛物线L2的解析式为：y=a（x-2）2+3，
∵L2过点B2（3，2），
∴2=a×（3-2）2+3，解得a=-1，
∴抛物线L2的解析式为y=-（x-2）2+3；
猜想抛物线Ln的顶点坐标为（3×2n-2-1，3×2n-2）．
证明如下：
由正方形AnBnCnCn-1顶点An，Bn的坐标规律为An（2n-1-1，2n-1）与Bn（2n-1，2n-1），
∴抛物线Ln的对称轴为直线x=$\frac{{2}^{n-1}-1+{2}^{n}-1}{2}$=3×2n-2-1，又顶点在直线y=x+1上，
∴y=3×2n-2，
∴抛物线Ln的顶点坐标为（3×2n-2-1，3×2n-2）；
（3）k1与k2的数量关系为k1=k2．
理由如下：
由（2）得L2的解析式为y=-（x-2）2+3，
当y=1时，1=-（x-2）2+3，解得x1=2-$\sqrt{2}$，x2=2+$\sqrt{2}$，
∵0＜A1D1＜1，
∴x=2-$\sqrt{2}$，
∴A1D1=2-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-1），
∴D1B1=1-（2-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-1，
∴A1D1=$\sqrt{2}$•D1B1，即k1=$\sqrt{2}$；
同理可求得A2D2=4-2 $\sqrt{2}$=2 $\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-1），
D2B2=2-（4-2 $\sqrt{2}$）=2 $\sqrt{2}$-2=2（$\sqrt{2}$-1），
∴A2D2=$\sqrt{2}$•D2B2，即k2=$\sqrt{2}$，
∴k1=k2．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及正方形的性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、函数图象的交点等知识．在（1）中求得An的横坐标是解题的关键，注意正方形性质的应用，在（2）中利用待定系数法可求得抛物线解析式，求抛物线顶点坐标时注意其变化规律，在（3）中利用函数图象的交点求得相应线段的长分别求得k1和k2的值是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
| A． | $\frac{1}{x-1}$ | B． | $\frac{1}{1-x}$ | C． | $\frac{1-2x}{x-1}$ | D． | $\frac{2x-1}{x-1}$ |
要在宽为36m的公路的绿化带MN（宽为4m）的中央安装路灯，路灯的灯臂AD的长为3m，且与灯柱CD成120°（如图所示），路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线AB与灯臂垂直．当灯罩的轴线通过公路路面一侧的中间时（除去绿化带的路面部分），照明效果最理想，问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果？（精确到0.01m，参考数据$\sqrt{3}$≈1.732）
如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，交AB于点G，交CA的延长线于点E，∠E=∠AGE，求证：∠BAD=∠CAD．| A． | a3+a3=a6 | B． | 5a5-a5=4a5 | C． | （2a）3=6a3 | D． | a8÷a2=a4 |
如图，已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过
| A． | $\sqrt{\frac{4}{25}}=±\frac{2}{5}$ | B． | $\sqrt{{{（{-3}）}^2}}=-3$ | C． | -a2没有平方根 | D． | $-\sqrt{{{（{-4}）}^2}}=-4$ |