Question

14．如图，已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x²+bx+c经过
A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式：
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM周长最短？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可求得A、B两点的坐标，根据待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得C点坐标，再根据三角形的面积可求得答案；
（3）连接BC交对称轴于点M，由题意可知A、C关于对称轴对称，则可知MA=MC，故当B、M、C三点在同一条直线上时MA+MB最小，则△ABM的周长最小，由B、C坐标可求得直线BC的解析式，则可求得M点的坐标．

解答 解：
（1）在y=3x-3中，令y=0可求得x=1，令x=0可得y=-3，
∴A（1，0），B（0，-3），
把A、B两点的坐标分别代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²+2x-3；
（2）令y=0得0=x²+2x-3，解得x₁=1，x₂=-3
∴C（-3，0），AC=4
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（3）∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴抛物线的对称轴为x=-1，
∵A、C关于对称轴对称，
∴MA=MC，
∴MB+MA=MB+MC，
∴当B、M、C三点在同一条直线上时MB+MC最小，此时△ABM的周长最小，
∴连接BC交对称轴于点M，则M即为满足条件的点，

设直线BC的解析式为y=kx+m，
∵直线BC过点B（0，-3），C（-3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+m=0}\\{m=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式y=-x-3，
当x=-1时，y=-2，
∴M（-1，-2），
∴存在点M使△ABM周长最短，其坐标为（-1，-2）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、轴对称的性质等知识．在（1）中求得A、B的坐标是解题的关键，在（2）中求得C点坐标是解题的关键，在（3）中确定出M点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．