题目内容
8．
平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（-1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'．（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时；△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．
分析 （1）根据旋转的性质，可得A′点，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案；
（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
解答 解：（1）∵?A′B′O′C′由?ABOC旋转得到，且A的坐标为（0，3），得
点A′的坐标为（3，0）．
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将A，A′C的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=3}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式y=-x2+2x+3；
（2）∵AB∥OC，
∴∠OAB=∠AOC=90°，
∴OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
又∠OC′D=∠OCA=∠B，∠C′OD=∠BOA，
∴△C′OD∽△BOA，又OC′=OC=1，
∴$\frac{△C′OD的周长}{△BOA的周长}$=$\frac{OC′}{OB}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
又△ABO的周长为4+$\sqrt{10}$，
∴△C′OD的周长为$\frac{（4+\sqrt{10}）\sqrt{10}}{10}$=1+$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
（3）
作MN⊥x轴交AA′于N点，
设M（m，-m2+2m+3），
AA′的解析式为y=-x+3，N点坐标为（m，-m+3），MN的长为-m2+3m，
S△AMA′=$\frac{1}{2}$MN•xA′=$\frac{1}{2}$（-m2+3m）×3
=-$\frac{3}{2}$（m2-3m）=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{27}{8}$，
∵0＜m＜3，∴当m=$\frac{3}{2}$时，-m2+2m+3=$\frac{15}{4}$，M（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
△AMA′的面积有最大值$\frac{27}{8}$．
点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的判定与性质；解（3）的关键是利用面积的很差得出二次函数．
一小球从距地面1m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．
某号台风中心位于O地，台风中心以25km/h的速度向西北方向移动，在距台风中心240km的范围内将受到影响．城市A在O地正西方向与O地相距320km处，如图所示，则A市是否会遭受此台风的影响？若受影响，将有多长时间受影响？（$\sqrt{2}$=1.414）
如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，DE，BE，过点A作AE的垂线交ED于点P，连接BP，AE=AP=1，PB=$\sqrt{5}$，有下列结论：①△APD≌△AEB
②点B到直线AE的距离为$\sqrt{2}$；
③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB=1+$\sqrt{6}$；
⑤S正方形ABCD=4+$\sqrt{6}$，
则正确的结论是（ ）
| A． | ①③④ | B． | ①②⑤ | C． | ③④⑤ | D． | ①③⑤ |
| A． | $\frac{1}{8}$ | B． | $\frac{1}{6}$ | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
| A． | 3 | B． | 4 | C． | 5 | D． | 6 |
如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．求证：AC∥DF．
如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为10米时，球移动的水平距离PD为8米，已知山坡PA与水平方向PC的夹角为45°，AC⊥PC于点C，P、A两点相距10$\sqrt{2}$米．请你以P为原点，直线PC为x轴建立适当的平面直角坐标系解决下列问题．