Question

1．阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法．苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3．
请按照上面的思路，补全问题1、2的解答：
问题1：已知：如图1，在△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．
问题2：如图2，在△ABC和△A₁B₁C₁中，∠C=∠C₁=90°，AB=A₁B₁，AC=A₁C₁．
求证：△ABC≌△A₁B₁C₁（补全证明过程）．
证明：把两个直角三角形如图3所示拼在一起仿照上面的方法解答问题：
问题3：如图4，△ABC中，∠ACB=90°，四边形CDEF是正方形，AE=5，BE=3．求阴影部分的面积和．

Answer 1

分析 问题1：作中线AD，根据三角形全等的判定定理证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质定理证明结论；
问题2：根据直角三角形全等的判定定理即可得到结论；
问题3：把△ADE逆时针旋转90°，则DE和DF重合，此时△A′BD为直角三角形，且A′D=36，BD=4，可求得面积．

解答 问题1：证明：作中线AD，
在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{BD=CD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠B=∠C；

问题2：证明：∵∠C=∠C₁=90°，
在Rt△ABC和Rt△A₁B₁C₁中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB={A}_{1}{B}_{1}}\\{AC={A}_{1}{C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌△RtA₁B₁C₁；

问题3：解：如图4，把△ADE逆时针旋转90°，
则△ADE≌△A′DF，
∴A′E=AE=5，∠A′EF=∠AED，
∵∠AED+∠BEF=90°，
∴∠A′EF+∠BEF=∠A′EB=90°，
∴S_阴影=S_△ADE+S_△BEF=S_△A′FE+S_△BEF=S_△A′EB=$\frac{1}{2}$A′E•BE=$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{2}$．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正方形的性质及旋转的性质，利用旋转把阴影部分转化成Rt△A′BD是解题的关键．