Question

15．请你自己画图，写出已知，求证，证明“相似三角形对应角平分线之比等于相似比”．

Answer 1

分析 画出图形，写出已知，求证，然后根据相似三角形对应角相等可得∠B=∠B₁，∠BAC=∠B₁A₁C₁，再根据角平分线的定义求出∠BAD=∠B₁A₁D₁，然后利用两组角对应相等两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列式证明即可．

解答 已知：如图，已知△ABC∽△A₁B₁C₁，顶点A、B、C分别与A₁、B₁、C₁对应，△ABC和△A₁B₁C₁的相似比为k，AD、A₁D₁分别是△ABC和△A₁B₁C₁的角平分线．
求证：$\frac{AD}{{A}_{1}{D}_{1}}$=k；
证明：∵△ABC∽△A₁B₁C₁，顶点A、B、C分别与A₁、B₁、C₁对应，
∴∠B=∠B₁，∠BAC=∠B₁A₁C₁，
∵AD、A₁D₁分别是△ABC，△A₁B₁C₁的角平分线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B₁A₁D₁=$\frac{1}{2}$∠B₁A₁C₁，
∴∠BAD=∠B₁A₁D₁，
∴△ABD∽△A₁B₁D₁，
∴$\frac{AD}{{A}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}$，
∴$\frac{AD}{{A}_{1}{D}_{1}}$=k，即相似三角形对应角平分线之比等于相似比．

点评 本题考查了相似三角形的性质与判定，主要利用了相似三角形对应角相等的性质，相似三角形对应边成比例的性质，以及两组角对应相等两三角形相似的判定方法，要注意文字叙述性命题的证明格式．