Question

11．如图，△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上的一点，DE⊥BC于点E，且AD=DE，AE与BD相交于点F．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若AB=2EF，判断△ABE的形状并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论；
（2）先利用“HL”证明Rt△ABD≌Rt△EBD得到AB=BE，则根据等腰三角形的性质得EF=AF，由于AB=2EF，易得AB=AE=BE，于是根据等边三角形的判定方法可判断△ABE为等边三角形．

解答 （1）证明：∵∠BAC=90°，DE⊥BC，AD=DE，
∴BD平分∠ABC；
（2）△ABE为等边三角形．利用如下：
在Rt△ABD和Rt△EBD中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{AD=ED}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD，
∴AB=BE，
∴△ABE为等腰三角形，
∵BF平分∠ABE，
∴BF垂直平分AE，即EF=AF，
而AB=2EF，
∴AB=AE，
∴AB=AE=BE，
∴△ABE为等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了等边三角形的判定．解决本题的关键是利用等腰三角形的性质得到BF垂直平分AE．