Question

15．如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=$6\sqrt{2}+3$．（结果保留根号）

Answer 1

分析 先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．

解答 解：延长EF和BC，交于点G
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=9，
∴直角三角形ABE中，BE=$\sqrt{{9}^{2}+{9}^{2}}$=$9\sqrt{2}$，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=$9\sqrt{2}$
由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC
∴$\frac{CG}{DE}=\frac{CF}{DF}=\frac{CF}{2CF}=\frac{1}{2}$
设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BC
∵BG=BC+CG
∴$9\sqrt{2}$=9+2x+x
解得x=$3\sqrt{2}-3$
∴BC=9+2（$3\sqrt{2}$-3）=$6\sqrt{2}+3$
故答案为：$6\sqrt{2}+3$

点评 本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．