Question

某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

[操作发现]

在等腰三角形ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图4­2­47(1)，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论：①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB.其中正确的是____________(填序号即可)．

[数学思考]

在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图4­2­47(2)，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程．

[类比探索]

在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图4­2­47(3)，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．

答：____________________.

    

(1)　　　  　　 (2)　　  　　　 (3)

Answer 1

解：[操作发现]①②③④

[数学思考]MD＝ME，MD⊥ME.证明如下：

图18

①MD＝ME.

如图18，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，

∵M是BC的中点，

∴MF∥AC，MF＝AC.

又∵EG是等腰直角三角形AEC斜边上的中线，

∴EG⊥AC，且EG＝AC.

∴MF＝EG.

同理可证DF＝MG.

∵MF∥AC，

∴∠MFA＋∠BAC＝180°.

同理可得∠MGA＋∠BAC＝180°.

∴∠MFA＝∠MGA.

又∵EG⊥AC，∴∠EGA＝90°.

同理可得∠DFA＝90°.

∴∠MFA＋∠DFA＝∠MGA＋∠EGA，

即∠DFM＝∠MGE.又MF＝EG，DF＝MG，

∴△DFM≌△MGE(SAS)．∴MD＝ME.

②MD⊥ME.

如图18，设MD与AB交于点H，

∵AB∥MG，∴∠DHA＝∠DMG.

又∵∠DHA＝∠FDM＋∠DFH，

即∠DHA＝∠FDM＋90°.

∵∠DMG＝∠DME＋∠GME，∴∠DME＝90°.

即MD⊥ME.

[类比探究]等腰直角三角形