Question

1．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2$\sqrt{2}$，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）设AE=x，四边形DEFG的面积为S，求出S与x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEM≌△FEM，则有DE=EF即可；
（2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG=AE，即：CE+CG=CE+AE=AC=4；
（3）由正方形的性质得到∠DAE=45°，表示出AM=EM，再表示出DM，再用勾股定理求出DE²．

解答 解：（1）如图，作EM⊥BC，EN⊥CD

∴∠MEN=90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM=EN，
∵∠DEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DNE=∠FME}\\{EN=EM}\\{∠DEN=∠FEM}\end{array}\right.$，
∴△DEN≌△FEM，
∴EF=DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为4，
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE=DG，AD=DC，
∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDG=∠ADE，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG．
∴CE+CG=CE+AE=AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4，
（3）如图，

∵正方形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，
∴AC=4，
过点E作EM⊥AD，
∴∠DAE=45°，
∵AE=x，
∴AM=EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
在Rt△DME中，DM=AD-AM=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
根据勾股定理得，DE²=DM²+EM²=（2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²=x²-4x+8，
∵四边形DEFG为正方形，
∴S=S_{正方形DEFG}=DE²=x²-4x+8．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．