Question

10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1）和$（\sqrt{3}，0）$，若在第四象限存在点C，使△OBC和△OAB相似，则点C的坐标是（$\sqrt{3}$，-1），或（$\sqrt{3}$，3）或（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$）或（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 先根据题意得出OA，OB的长，再分△BOC∽△OBA，△BCO∽△OAB，△CBO∽△OBA，△CBO∽△OAB四种情况进行分类讨论，由直角三角形的性质即可得出结果．

解答 解：∵A（0，1）、B（$\sqrt{3}$，0），
∴OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2，∠ABO=30°．
当∠OBC=90°时，如图1，
①若△BOC∽△OBA，则∠C=∠ABO=30°，BC=OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
∴C（$\sqrt{3}$，-1）；
②若△BCO∽△OAB，则∠BOC=∠BAO=30°，BC=$\sqrt{3}$OB=3，OB=$\sqrt{3}$，
∴C（$\sqrt{3}$，-3）
当∠OCB=90°时，如图2，
过点C作CP⊥OB于点P，
①当△CBO∽△OBA时，
∠OBC=∠ABO=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理：OP=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴PC=$\sqrt{3}$OP=$\frac{3}{4}$，
∴C（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$）；
②当△CBO∽△OAB时，
∠BIC=∠ABO=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理：BP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴PC=$\sqrt{3}$BP=$\frac{3}{4}$，OP=OB-BP=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴C（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$）；
综上所述：点C的坐标为（$\sqrt{3}$，-1），或（$\sqrt{3}$，-3）或（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$）或（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$）；
故答案为：（$\sqrt{3}$，-1），或（$\sqrt{3}$，3）或（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$）或（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查的是相似三角形的判定定理、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质；在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．