Question

7．如图，△ABC为等边三角形，D为BC上任一点，△ADE=60°，△ACB外角的平分线与DE边交于点E，求证：EC+CD=AB．

Answer 1

分析 在CA上截取点F使得CF=CE，先证明△ADE、△EFC都是等边三角形，再证明△AEF≌△DEC即可解决问题．

解答 解：在CA上截取点F使得CF=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ACB=60°，
∵CE平分∠ACB的外角，
∴∠ACE=∠ADE=60°，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠AED=∠ACD=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=DE，
∵CF=CE，∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形，
∴EF=EC=CF，∠CEF=∠AED=60°，
∴∠AEF=∠DEC，
在△AEF和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠AEF=∠DEC}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
∴AC=AF+CF=CD+EC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．