Question

13．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于点E，AD、BC的延长线交于点H，过点E作FG∥AB交AD于点F，交BC于点G，求证：AG、BF、EH三线共点．

Answer 1

分析 由平行线分线段成比例定理得出$\frac{HF}{FA}=\frac{HE}{EQ}$，$\frac{BG}{GH}=\frac{EQ}{HE}$，因此$\frac{HF}{FA}$•$\frac{BG}{GH}$=1，同理：$\frac{HD}{DA}•\frac{BC}{CH}$=1，由点E为△HAB的赛瓦点，得出$\frac{HD}{DA}•\frac{AQ}{QB}•\frac{BC}{CH}$=1，得出$\frac{AQ}{QB}$=1，因此$\frac{HF}{FA}•\frac{AQ}{QB}•\frac{BG}{GH}$=1，即可得出结论．

解答 证明：∵FG∥AB，
∴$\frac{HF}{FA}=\frac{HE}{EQ}$，$\frac{BG}{GH}=\frac{EQ}{HE}$，
∴$\frac{HF}{FA}$•$\frac{BG}{GH}$=1，
同理：$\frac{HD}{DA}•\frac{BC}{CH}$=1，
∵点E为△HAB的赛瓦点，
∴$\frac{HD}{DA}•\frac{AQ}{QB}•\frac{BC}{CH}$=1，
∴$\frac{AQ}{QB}$=1，
∴$\frac{HF}{FA}•\frac{AQ}{QB}•\frac{BG}{GH}$=1，
∴AG、BF、EH三线共点．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理、赛瓦定理等知识；熟练掌握平行线分线段成比例定理和赛瓦定理是解决问题的关键．