Question

16．如图．在?ABCD中，点E、F分别在DC、AB上，DE=BF，直线EF分别与AD、CB的延长线相交于点G、H．求证：AC、GH互相平分．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，∠ADC=∠ABC，证出∠G=∠H，∠GDE=∠HBF，由AAS证明△DEG≌△BFH，得出DG=BH，证出AG=CH，得出四边形AGCH是平行四边形，即可得出结论．

解答 证明：连接AH、CG，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=∠ABC，
∴∠G=∠H，∠GDE=∠HBF，
在△DEG和△BFH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠H}&{\;}\\{∠GDE=∠HBF}&{\;}\\{DE=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△BFH（AAS），
∴DG=BH，
∴AG=CH，
又∵AG∥CH，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∴AC、GH互相平分．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，证题的关键是通过证明三角形△DEG≌BFH得到DG=BH．