Question

7．△ABC和△ADE中，AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α，点D在BC上，连接CE
（1）如图1，若α=60°，则∠DCE=120°；
（2）如图2，若α=90°，求∠DCE的度数；
（3）如图3，若0°＜α＜60°，直接写出∠DCE的度数（用含α的式子表示）

Answer 1

分析 （1）如图1，根据已知条件得到△ABC与△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠BAC=∠DAE=60°，根据全等三角形的性质得到∠B=∠ACE=60°，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到∠ACD=∠AED=45°，求得∠ECO=∠DAO=45°，推出点A，C，E，D四点共圆，根据圆内接四边形的性质得到∠ACE+∠ADE=180°，于是得到结论；
（3）连接AE，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠AED=$\frac{1}{2}$（180°-α），又推出 点A，D，C，E四点共圆，根据圆周角定理得到∠ACE=∠ADE=α，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1，∵AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=60°，
∴△ABC与△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠EAC，AE=AD，
在△ABD与△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE，
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°，
故答案为：120°；

（2）∵等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=DE，∠BAC=∠ADE=90°，
∴∠ACD=∠AED=45°，
∴∠ECO=∠DAO=45°，
∴点A，C，E，D四点共圆，
∴∠ACE+∠ADE=180°，
∵∠ADE=90°，
∴∠ACE=90°，
∴∠DCE=45°，

（3）连接AE，
∵AB=AC，AD=DE，∠BAC=∠ADE=α，
∴∠ACD=∠AED=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∴点A，D，C，E四点共圆，
∴∠ACE=∠ADE=α，
∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=$\frac{1}{2}$（180°-α）+α=90°+$\frac{1}{2}α$．

点评 本题主要考查了四点共圆，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．