Question

4．如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，且点D在AB边上，连接AE，
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：DE²=AD²+BD²．

Answer 1

分析 （1）由于△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，那么∠B=∠BAC=45°，AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°，结合等式性质易证∠1=∠2，那么利用SAS可证△ACD和△BCE．
（2）易求∠EAD=90°，再利用勾股定理可得AE²+AD²=DE²．

解答 证明：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°，AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠B=45°，AE=BD，
∴∠EAD=∠DAC+∠CAE=45°+45°=90°，
∴AE²+AD²=BD²+AD²=DE²．
∴DE²=AD²+BD²

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．