Question

已知：如图，在△ABC中，AC=AB，CD⊥AB于点D，过点A作AE⊥AC交CB的延长线于点E，EG⊥AB交AB延长线于点G．求证：
（1）EC平分∠AEG；
（2）AD=BG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠ACE+∠AEC=∠EBG+∠BEG=90°，根据∠ACB=∠ABC=∠EBG求出∠AEC=∠BEG，即可得出答案；
（2）过点B作BF⊥AE于点F，根据角平分线性质求出BF=BG，证△ACD≌△BAF，推出AD=BF即可．

解答：证明：（1）∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵AE⊥AC，EG⊥AB，
∴∠CAE=∠AGE=90°，
∴∠ACE+∠AEC=∠EBG+∠BEG=90°，
又∵∠ACB=∠ABC=∠EBG，
∴∠AEC=∠BEG，
即：EC平分∠AEG；

（2）过点B作BF⊥AE于点F，
∴∠AFB=90°，
由（1）知EC平分∠AEG，
∴BF=BG，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°=∠AFB，
∴∠ACD=∠FAB，
在△ACD和△BAF中，

∠ACD=∠BAF ∠ADC=∠AFB AC=AB

，
∴△ACD≌△BAF（AAS），
∴AD=BF，
∴AD=BG．

点评：本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．