Question

9．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB=13，AC=5，

（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PB的长；
（2）如图（2），过点P作PD⊥BC于点E，交AB于点D，若$\frac{DE}{EP}$=$\frac{5}{4}$，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，p是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得；
（2）延长AC，PB交于点G，根据PD⊥BC，AC⊥BC．得到AC∥PD，得到比例式，求得CG=4，根据勾股定理求出BC的长度，得到GB的长度通过三角形相似得出结论．

解答 解：（1）如图（1）所示，连接PB，
∵AB是⊙O的直径且P是$\widehat{AB}$的中点，
∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，
又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，
∴PB=$\frac{AB}{\sqrt{2}}$=$\frac{13}{\sqrt{2}}$=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$；

（2）如图（2）所示，延长AC，PB交于点G，
∵PD⊥BC，AC⊥BC．
∴AC∥PD，
∴$\frac{PE}{GC}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{DE}{AC}$，
∴$\frac{DE}{EP}$=$\frac{AC}{GC}$=$\frac{5}{4}$，
∴CG=4，
∵AB=13，AC=5，
∴BC=$\sqrt{{AB}^{2}{-AC}^{2}}$=12，
∴$GB=4\sqrt{10}$，
∵∠GCB=ABP，G=∠G，
∴△GCP∽△ABG，
∴$\frac{GC}{GB}$=$\frac{CP}{AB}$，
∴CP=$\frac{13\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．