Question

10．观察下列各个等式：1²=1，1²+2²=5，1²+2²+3²=14，1²+2²+3²+4²=30，…．
（1）你能从中推导出计算1²+2²+3²+4²+…+n²的公式吗？请写出你的推导过程；
（2）请你用（1）中推导出的公式来解决下列问题：
已知：如图，抛物线y=-x²+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn等分，分点从左到右依次为A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n-1，分别过这n-1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n-1，设△OBA₁、△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄、…、△A_n-1B_n-1A的面积依次为S₁、S₂、S₃、S₄、…、Sn．
①当n=2013时，求s₁+s₂+s₃+s₄+…+s₂₀₁₃的值；
②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？

Answer 1

分析 （1）由n³-（n-1）³=3n²-3n+1公式的n的式子相加推导出1²+2²+3²+4²+…+n²的公式．
（2）①结合抛物线和（1）中推导出的公式求出S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₃的值；
②当n取到无穷无尽时，取极值，求得三角形的面积．

解答 解：（1）∵n³-（n-1）³=3n²-3n+1，∴当式中的n从1、2、3、…依次取到n时，就可得下列n个等式：
1³-0³=3×1²-3×1+1，2³-1³=3×2²-3×2+1，3³-2³=3×3²-3×3+1…n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
将这n个等式的左右两边分别相加得：n³=3（1²+2²+3²+…n²）-3（1+2+3+…+n）+n，
即1²+2²+3²+…n²=$\frac{{n}^{3}+3（1+2+3+…n）-n}{3}$=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．
（2）先求得A、B两点的坐标分别为（3，0），（0，3），∴点A₁（$\frac{3}{n}$，0）A₂（$\frac{6}{n}$，0）A₃（$\frac{9}{n}$，0）A₄（$\frac{12}{4}$，0）…A_n-1（$\frac{3（n-1）}{n}$，0），
点B₁（$\frac{3}{n}$，-（$\frac{3}{n}$）²+2（$\frac{3}{n}$）+3），B₂（$\frac{6}{n}$，-（$\frac{6}{n}$）²+2（$\frac{6}{n}$）+3）…B_n-1（$\frac{3（n-1）}{n}$，-[$\frac{3（n-1）}{n}$]²+2$\frac{3（n-1）}{n}$+3），
∴S₁=$\frac{9}{2n}$，S₂=$\frac{9（{n}^{2}+2n-3）}{2{n}^{3}}$，S₃=$\frac{9（{n}^{2}+4n-12）}{2{n}^{3}}$…S_n=$\frac{9[{n}^{2}+2（{n}^{2}-n）-3（n-1）^{2}]}{2{n}^{3}}$
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n=$\frac{9\{{n}^{3}+2n（1+2+…+n-1）-3[{1}^{2}+{2}^{2}+…+（n-1）^{2}]\}}{2{n}^{3}}$
=$\frac{9[{n}^{3}+2n×\frac{n（n-1）}{2}-3×\frac{n（n+1）（2n-1）}{6}]}{2{n}^{3}}$=$\frac{9（2{n}^{2}+n-1）}{4{n}^{2}}$．
∴①当n=2013时，S₁+S₂+S₃+S₄+…S₂₀₁₃=$\frac{9（2×201{3}^{2}+2012）}{4×201{3}^{2}}$；
②∵S₁+S₂+S₃+…S_n=$\frac{9（2{n}^{2}+n-1）}{4{n}^{2}}$=$\frac{9}{2}$+$\frac{9}{4n}$-$\frac{9}{4{n}^{2}}$，
∴当n取到无穷无尽时，上式的值等于$\frac{9}{2}$，即所有三角形的面积和等于$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用立方差公式推导是解题关键，（2）利用等分得出A点坐标，利用点在函数图象上得出B点坐标，利用推导公式求出面积的和，计算是解题关键．