Question

7．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=BD=3，CD=2，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA-AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度是（　　）

• A． $\frac{9}{5}$或4
• B． $\frac{6}{5}$或4
• C． $\frac{9}{5}$或$\frac{13}{5}$
• D． $\frac{6}{5}$或$\frac{13}{5}$

Answer 1

分析 分两种情况计算：①点Q在AB边上时，先求出三角形ABD的面积，设出BP=x，再将三角形DCQ和AQD的面积用x表示出来，用面积相等建立方程即可；②当点Q在AC边时，由面积相等即可得出点Q是AC中点，进而得出点P'是CD的中点，即可求出DP'，即可得出结论．

解答 解：①点Q在AB边上时，
∵AD⊥BC，垂足为D，AD=BD=3，CD=2，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AD=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$，∠B=45°
∵PQ⊥BC，
∴BP=PQ，
设BP=x，则PQ=x，
∵CD=2，
∴S_△DCQ=$\frac{1}{2}$×2x=x，
S_△AQD=S_△ABD-S_△BQD=$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$×3×x=$\frac{9}{2}$-$\frac{3}{2}$x，
∵△ADQ与△CDQ的面积相等，
∴x=$\frac{9}{2}$-$\frac{3}{2}$x，
解得：x=$\frac{9}{5}$，
②如图，
当Q在AC上时，记为Q'，过点Q'作Q'P'⊥BC，
∵AD⊥BC，垂足为D，
∴Q'P'∥AD
∵△ADQ与△CDQ的面积相等，
∴AQ'=CQ'
∴DP'=CP'=$\frac{1}{2}$CD=1
∵AD=BD=3，
∴BP'=BD+DP'=4，
综上所述，线段BP的长度是$\frac{9}{5}$或4．
故选A，

点评 此题是三角形的面积，主要考查了三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出点Q'是AC的中点．