Question

16．如图，在△ABC中，∠A=60°，P为线段BC（不含端点）上一点，E、F分别为射线AB、AC上的点，且BP=BE，CP=CF，△ABC的外接圆在B、C两点处的切线交于点S．设△EPF的外心为O，BO与CS交于点T，SO与直线AB交于点Y．求证：B、Y、T、S四点共圆．

Answer 1

分析 先判断出BS=SC，结合∠A=60°，得出∠BSC=60°，进而得出△BEO≌△BPO，即：∠OBP=$\frac{1}{2}$∠EBP，同理：∠OCB=$\frac{1}{2}$∠FCP，即可得出点B，O，S，C四点共圆，再判断出△YBO≌△CBO，得出BY=BC，进而△BYT≌△BCT，即可点B，Y，T，S四点共圆．

解答 解：如图，连接OE，OP，OC，OF，

∵BS，CS是△ABC的外接圆的切线，
∴BS=SC，
∵∠A=60°，
∴∠BSC=60°（△SBC是等边三角形），
∵O为△PEF的外心，
∴OE=OP，在△BEO和△BPO中，$\left\{\begin{array}{l}{BP=BE}\\{EO=PO}\\{OB=OB}\end{array}\right.$
∴△BEO≌△BPO，
∴∠EBO=∠PBO，
∴∠OBP=$\frac{1}{2}$∠EBP，
同理：∠OCB=$\frac{1}{2}$∠FCP，
∵∠BOC=180°-∠OBP-∠OCB=180°-$\frac{1}{2}$∠EBP-$\frac{1}{2}$∠FCP=60°=∠BSC，
∴B，O，S，C四点共圆，
∴∠YOB=∠SOC=∠BOC=60°，
在△YBO和△CBO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠YBO=∠CBO}\\{BO=BO}\\{∠BOY=∠BOC}\end{array}\right.$，
∴△YBO≌△CBO，
∴BY=BC，
在△BYT和BCT中，$\left\{\begin{array}{l}{BY=BC}\\{∠YBT=∠CBT}\\{BT=BT}\end{array}\right.$，
∴△BYT≌△BCT，
∴∠BYT=∠BCT=60°=∠BSC，
∴B，Y，T，S四点共圆．

点评 此题是四点共圆，主要考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆的判定方法，解本题的关键是∠OBP=$\frac{1}{2}$∠EBP和∠OCB=$\frac{1}{2}$∠FCP，作出辅助线是解本题的难点，是一道难度不太大的很好的竞赛题．