Question

如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）如果∠ACB=75°．
①若⊙O的半径为2，求BD的长；
②求CD：BC的值．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由∠DOC=2∠ACD=90°易得∠ACD=45°，而OC=OD，则可判断△OCD为等腰直角三角形，所以∠OCD=45°，则∠OCA=90°，于是可根据切线的判定定理得到直线AC是⊙O的切线；
（2）作DH⊥BC于H．
①先根据等腰直角三角形的性质得CD=

2

OC=2

2

，再根据圆周角定理得∠B=

1

2

∠COD=∠B=45°，由于∠ACB=75°，∠ACD=45°，所以∠BCD=30°；在Rt△CDH中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DH=

1

2

DC=

2

，在Rt△BDH中，根据等腰直角三角形的性质得BD=

2

DH=2；
②设DH=x，在Rt△CDH中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=2DH=2x，CH=

3

DH=

3

x；在Rt△BDH中，根据等腰直角三角形的性质得BH=DH=x，则BC=（

3

+1）x，所以CD：BC=2x：（

3

+1）x=（

3

-1）：1．

解答：（1）证明：∵∠DOC=2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°，
∵OC=OD，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴∠OCD=45°，
∴∠OCA=∠OCD+∠ACD=90°，
∴OC⊥AC，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）作DH⊥BC于H，如图，
①在Rt△OCD中，CD=

2

OC=2

2

，
∵∠B=

1

2

∠COD，
∴∠B=45°，
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠BCD=30°，
在Rt△CDH中，DH=

1

2

DC=

2

，
在Rt△BDH中，BD=

2

DH=

2

×

2

=2；
②设DH=x，
在Rt△CDH中，CD=2DH=2x，CH=

3

DH=

3

x，
在Rt△BDH中，BH=DH=x，
∴BC=BH+CH=x+

3

x=（

3

+1）x，
∴CD：BC=2x：（

3

+1）x=（

3

-1）：1，即
CD：BC的值为

3

-1．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰直角三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．