Question

10．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． 3$\sqrt{5}$
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求出AO=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．

解答 解；连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠OAB}\\{∠FOC=∠AOE}\\{OF=OE}\end{array}\right.$，
∴△CFO≌△AOE，
∴AO=CO，
∵AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{8}=\frac{AE}{4\sqrt{5}}$，
∴AE=5．
故选C．

点评 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键．