Question

20．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①以A为圆心，AB长为半径画弧；
②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）利用SSS定理证得结论；
（2）设BE=x，利用特殊角的三角函数易得AE的长，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得x，得CE的长．

解答 （1）证明：在△ABC与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=CD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；

（2）解：设BE=x，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABE=60°，
∴AE=tan60°•x=$\sqrt{3}$x，
∵△ABC≌△ADC，
∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，
∵∠BCA=45°，
∴∠BCA=∠DCA=45°，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴CE=BE=x，
∴$\sqrt{3}$x+x=4，
∴x=2$\sqrt{3}$-2，
∴BE=2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，特殊角的三角函数，利用方程思想，综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键．