Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且CB=CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．
（1）试说明：DE=BF；
（2）若∠DAB=60°，AB=6，求CF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：

分析：（1）由CB=CD，根据等弦对的圆周角相等，得到一对角相等，继而得到AC为角平分线，利用角平分线定理得到CE=CF，利用HL得到三角形CDE与三角形CBF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据AC为角平分线，且∠DAB=60°，得到∠BAC=30°，在直角三角形ABC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长，利用勾股定理求出AC的长，在直角三角形ACF中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半即可求出CF的长．

解答：（1）证明：∵CB=CD，
∴∠BAC=∠EAC，
∵CE⊥AE，CF⊥AF，
∴CE=CF，
在Rt△CED和Rt△CFB中，

CE=CF CD=CB

，
∴Rt△CED≌Rt△CFB（HL），
则DE=BF；
（2）∵∠BAC=∠EAC，且∠DAB=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AB=6，
∴BC=

1

2

AB=3，
根据勾股定理得：AC=

62-32

=3

3

，
在Rt△ACF中，CF=

1

2

AC=

3

2

3

．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弦及弧之间的关系，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．