Question

如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求

AE

AF

的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OD，可证明OD∥AB，可得OD⊥DE，可得出结论；
（2）连接AD，在Rt△ADB中可求得DE，再根据OD∥AB，利用平行线分线段成比例求得FD，进一步可求得

AE

AF

．

解答：（1）证明：
如图1，连接OD，

∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AD，

∵AC为直径，
∴AD⊥BC，
∵半径为2，BE=1，
∴OD=2，AB=AC=4，AE=AB-BE=3，
∵DE⊥AB，
∴DE²=AE•BE=3，解得DE=

3

，
又OD∥AB，
∴

DF

EF

=

OD

AE

，即

DF

DF+DE

=

OD

AE

，
∴

DF

DF+ 3

=

2

3

，解得DF=2

3

，
在Rt△ODF中，可求得OF=4，
又

OF

AF

=

OD

AE

，
∴

AE

AF

=

OD

OF

=

2

4

=

1

2

．

点评：本题主要考查切线的判定和性质及等腰三角形的性质、平行线分线段成比例，掌握切线的证明方法，即有切点时连接圆心和切点证明垂直是解题的关键，注意等腰三角形“三线合一”性质的应用．